(一)  

一個賭局,拋硬幣,如果正面你就給我100元,如果反面我就給你150元,你玩不玩?  

對你來說,這個賭局的數學期望是150*50%-100*50%=25元(平均預期收益),挺劃算,但很多人不愿意賭,因為風險厭惡(lossaversion),還是有失去100元的風險。  

可要連賭一萬把,那你還愿不愿意玩呢?當然愿意。大數定律告訴我們,當數據量足夠多時,其發生頻次將趨近于其理論概率。賭一兩把你可能會輸,但一萬把幾乎會把所有波動拉平,你預期收益就是25*10000=25萬。  

現實生活不可以這么簡化,100元對于年收入1000萬的人來說其效用和對于年收入10萬的人也是不一樣的,現實生活也沒人跟你賭一萬把,現實生活是不可計算的,那個男生看上去可靠帥氣,我該不該把身心全部交出去?英語好難,單詞記不住,我要不要報個班?  

這個思想實驗只是告訴你,人生不是一次博弈而是重復博弈,在你跌倒一次又不至于死去之前,只要其數學期望值是正的,你就應該一直嘗試,正如丹尼爾·卡尼曼在《思考,快與慢》書里的建議:生活中的確沒人跟你連賭一萬把,但是你可以把一生之中大大小小的概率選擇當成一個系統來全盤考慮。只要每一次遇到數學期望為正的時候你都選擇賭,那么長期看來,你必然是贏的。  

你要像商人一樣去思考,按照概率下注,不要過多糾結于沉沒成本,不要在乎一朝一夕,你要的是一生一世。  

“老百姓關心具體事件的成敗,高手關注的是一個概率系統。只要我這個系統合理,那么具體事件結果都是偶爾波動,長期看我一定是贏?!? 

--萬維鋼  

(二)  

有一個贏2賠1的賭局,扔硬幣下注,如果正面就翻倍,反面就輸掉本金,你總賭資為100元,每次下注都可投入任意金額,那你怎么賭呢?  

如果你喜歡冒險,可能會選擇干脆玩把大的,100元全押上,輸就輸個精光,贏就掙筆大的!如果你偏保守,會謹慎點,細水長流慢慢來,一次只玩一塊錢。每次只下注1元,正面贏2元,反面輸1元。但玩了20把,又覺得辛辛苦苦半天都不如人家一次20元贏的多,太憋屈。  

100太多1塊太少,那該投入多少比例下注呢?凱利判據告訴你答案:  

f*=(bp-q)/b  

在公式中,各參數意義為:  

f*=應投注的資本比值  

p=獲勝的概率(也就是拋硬幣正面的概率)  

q=失敗的概率,即1-p(也就是硬幣反面的概率)  

b=賠率,等于期望盈利÷可能虧損(也就是盈虧比)  

公式中的分子bp-q代表“贏面”,數學中叫“期望值”,假設贏概率是75%,獎勵80,輸概率25%,懲罰150,那么其數學期望值就是:75%*80-25%*150=22.5.  

代入公式,拋硬幣每次應該投入(bp-q)÷b=(2*50%-50%)÷2=25%,即每次你應該投入總賭資的25%,25元。凱利判據告訴我們要通過選擇最佳投注比例,才能長期獲得最高收益,以避免屁股輸得精光。  

公式如此優美,含義卻很難吃透。什么時候要全部allin呢?要是贏了不止2倍呢?10倍,100倍,1000倍如何?算算,即使1000倍,你最大下注比例也才為0.4995.只要概率不變,多大盈虧比你都不應該全部下注,一直allin你總有一把全部賠光。  

(三)  

賭場中莊家優勢最小的賭局是21點,莊家只贏玩家0.4%,大約50.2%,玩家大約49.8%的勝率,所以你知道為什么長期來看,十賭九輸了吧。  

你相信運氣,賭場相信概率。大部分人卻想用心存僥幸去戰勝賭場,殊不知賭場背后是你撼動不了的概率計算。即使告訴你算牌規則,大多數人僅限于個位數的運算能力也不夠上線使用。  

《決勝21點》是講述一群MIT學生戰勝賭場的電影,其真實原型來自于麻省理工學院的愛德華?索普教授。  

21點規則變化很多,但簡單說,莊家輪流發牌,誰率先超過21點,就爆掉,剩者贏。  

當點數小于17點時,莊家必須繼續要牌,而玩家則可選擇要還是不要。此時,若是之前出現的都是小牌,那么剩下的排堆里大牌就比較多,莊家爆掉的可能性就比較大,玩家此時就應該加大籌碼。  

大神索普琢磨出了一套算牌技巧,以大于50%的概率猜出莊家手里的牌數,就靠這僅僅的幾個概率點再配合凱利公式優化自己每次最優下注比例,持續下注,他戰勝了賭場。  

簡單說,索普大神遵循的是:勝算大時出重手,勝算小時就下小手。  

用預期收益/賠率是對賭場人士而言,對于普通民眾,其普世意義就是用優勢/劣勢。在一個局里,看你有沒有優勢,如果預期收益為正,你可以繼續玩,理性下注保持坐在桌子上繼續玩下去的可能,耗到對手死亡。如果你劣勢較大,預期收益為負,人為刀俎,你為魚肉,絕不能玩。  

(四)  

人生漫長,并非一次博弈,是一連串事件的選擇。找準你認為對的事,持續做,做到你積累的優勢別人無法再忽視,也無法再追趕。找到一個長坡,上面有略微濕潤的雪,團起你的小雪球,順勢推下。  

那什么事情又值得allin呢?  

我想,學習總在名單之列。不僅要allin投入,還要加杠桿,正如索羅斯曾說:對高確定性的交易,要直取咽喉,不僅要投入自己的身家性命,還要借錢來賭。所以才有了保爾遜基金2007做空美國次貸,狂賺40億美金的傳奇。  

而在你沒有把握的地方,要永遠謹慎地樂觀,不要被趕下牌桌,贏局再大,也與你無關,正如羅斯福曾說“榮譽屬于真正置身于競技場上的人?!? 

最后,借用一句話“篤信加上耐心,才有可能幫你熬過偶然的失落,等到必然的好運。”  

參考得到萬維鋼、王爍專欄、老喻微信公號“孤獨大腦”。